Задача
Константин и Алеся принимают приглашение на домашнюю вечеринку. Константин видит, что на вечеринке будет 30 человек, и говорит Алесе: «бьюсь об заклад на 100 долларов, что как минимум два человека будут праздновать там одинаковый день рождения!»
Стоит ли Алесе принять эту ставку? (Допустим, что дни рождения распределены поровну в течение года из 365 дней.)
Подсказка
Вам может понадобиться формула и Excel-таблица.
Решение ниже под фото.
Решение
Самый простой способ решить эту задачу — пойти от обратного: какова вероятность того, что в группе определенного размера никто не будет иметь одинаковых дней рождения?
Давайте рассмотрим группу из пяти человек. Первый человек будет иметь какой-то случайный день рождения между 1 января и 31 декабря. В таком случае у второго человека будет вероятность (364/365) того, что день рождения не будет совпадать с днем рождения первого человека. Таким образом, у третьего человека есть 363 «свободные» даты на выбор, значит, вероятность того, что день рождения не будет совпадать с днем рождения первого или второго человека, составляет 363/365. Четвертый человек будет иметь шанс 362/365 не делить свой день с другим и так далее.
Чтобы потом получить вероятность того, что ни у одного из пяти человек не будет общего дня рождения, нам нужно перемножить эти вероятности вместе:
P = (364/365)*(363/365)*(362/365)*(361/365) = 0,97
Другими словами, в компании из пяти человек человек не будет иметь общей даты рождения с вероятностью 97 процентов. Это кажется довольно интуитивно понятным и означает, что есть только 3% вероятности, что как минимум два человека будут иметь общую дату.
Что может быть менее интуитивно понятным, так это то, как быстро растет эта цифра. В таблице ниже используется тот же расчет, чтобы показать вероятность того, что как минимум два человека будут иметь один и тот же день рождения в зависимости от количества человек в группе:
В группе из 30 человек существует 71% вероятности, что у двух человек будет совпадать день рождения. Поэтому Алесе лучше не принимать эту ставку!
Вы можете проверить это на ближайшей встрече выпускников, свадьбе или юбилее.
